二维变换

线性变换可用矩阵表示，即

\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

缩放 Scale

T = \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y \end{bmatrix}

T = \begin{bmatrix} r_x ? -1 : 1 & 0 \\ 0 & r_y ? -1 : 1 \\ \end{bmatrix}

T = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

T = \begin{bmatrix} cos \theta & -sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix}

设 $T = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D \end{bmatrix}$
首先带入(1, 0)点，旋转θ后坐标为(cosθ, sinθ), 即

A \cdot 1 + B \cdot 0 = cos \theta

C \cdot 1 + D \cdot 0 = sin \theta

得:

A = cos \theta, C = sin \theta

同理, 带入(0, 1)点, 得出

T = \begin{bmatrix}cos \theta & -sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix}

当前矩阵无法直接表示平移操作, 而是需要额外加另一个矩阵, 形如:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}

添加一个坐标(w), 即:
2D 点: (x, y, 1)
2D 向量: (x, y, 0)
使用矩阵表示:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}

保证如下几点

\begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x / w \\ y / w \\ 1 \end{bmatrix}

所以, 点 + 点在齐次坐标表示下, 为该两个点的中点

将线性变换和平移变换, 统称为仿射变换

将变换的操作恢复原样的变换; 数学上, 变换后, 乘以该变换矩阵的逆矩阵

矩阵乘法不满足交换律, 即变换的顺序会影响最终的结果
矩阵乘法满足结合律, 可以合并变换以优化性能, 即 $A_n(...(A_2(A_1\cdot x))) = (A_n ... A_2 \cdot A_1) \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

如: 以任意点为中心旋转

即 T(c)R(α)T(-c)

本系列文章是 @Lingqi Yan(闫令琪) 教授《现代计算机图形学入门》视频课程的文字笔记, 方便各位图形学爱好者朋友学习巩固使用

3D 点 $= (x, y, z, 1)^T$
3D 向量 $= (x, y, z, 0)^T$
仿射变换

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}

*先应用变换, 再应用平移

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