荣耀的博客

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正交矩阵

上节课已经知道, 旋转的变换矩阵为

Rθ=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R_\theta = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}

当θ为负, 即反向(顺时针)旋转的变换矩阵为

R−θ=[cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ]R_-\theta = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}

可以发现

R−θ=Rθ−1=RθTR_{-\theta} = R_\theta^{-1} = R_\theta^T

即旋转矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵, 数学上称这样的矩阵为正交矩阵

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二维变换

线性变换可用矩阵表示，即

[x′y′]=T[xy]\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
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向量 Vectors

  • 有大小, 有方向
  • 常写作 a⃗\vec a 或者 a\boldsymbol a (加粗字母)
  • 或者使用 AB→=B−A\overrightarrow {A B} = B - A 表示从起始点到目标点的向量
  • 不关心绝对的开始和结束位置
  • 向量长度用 ∣∣a⃗∣∣|| \vec a || 表示
  • 单位向量
    • 向量长度为 1
    • 用 a^\hat a 表示, 常用 a^=a⃗∣∣a⃗∣∣\hat a = \frac{\vec a} {|| \vec a ||} 获得单位向量
    • 可以用来只表示方向
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